有限数学示例

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

化简 $(x - 2) x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

重写。

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2.2

将 $2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

解题步骤 3.2.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.3.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

解题步骤 3.2.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$x^{2} - 4 x = 1$

解题步骤 3.2.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

解题步骤 3.2.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.2.6

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7

化简。

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解题步骤 3.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.7.1.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.3

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 3.2.7.1.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.2.7.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 。

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

解题步骤 3.2.8

最终答案为两个解的组合。

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

解题步骤 4

排除不能使 $\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ 成立的解。

$x = 2 + \sqrt{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 2 + \sqrt{5}$

小数形式：

$x = 4.23606797 \dots$

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